Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 1

20/22

Cho hình chóp \[S.ABCD\]có đáy là hình thoi cạnh \[1\], \[\widehat {BAD} = 60^\circ \]. Gọi \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]. Hình chiếu vuông góc của \[S\] lên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] trùng với điểm \[O\]. Góc giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng đáy bằng \[60^\circ \]. Khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] bằng \[\frac{{a\sqrt {13} }}{b}\] với \[a,b\] là các số nguyên dương và \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản. Tính \[a + b\].

Giải thích

Đáp án: \[16\].

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 1 (ảnh 1)

Kẻ \[OM \bot CD,OK \bot SM\]. Vì \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \[SO \bot CD\] mà \[OM \bot CD\]

Suy ra \[CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot OK\],

mà \[OK \bot SM \Rightarrow OK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OK \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2.OK\]

\[OM = \frac{{OC.OD}}{{CD}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2}}}{1} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\],\[OK = \frac{{OS.OM}}{{\sqrt {{\rm{O}}{{\rm{S}}^2} + O{M^2}} }} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{4}.\frac{3}{2}}}{{\sqrt {\frac{9}{4} + \frac{3}{{16}}} }} = \frac{{3\sqrt {13} }}{{26}} \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2.OK = \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{b} \Rightarrow a = 3,b = 13\]

Vậy \[a + b = 16\].