Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A , B , AB = BC = a , AD = 2a , biết SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và CD . Tính sin góc giữa MN

Giải chi tiết:

Đặt hệ trục Oxyz sao cho:

        \[A(0,0,0),\;AB\parallel Ox,\;AD\parallel Oy,\;AS\parallel Oz.\]

                                \[S(0,0,a),\;B(a,0,0),\;D(0,2a,0),\;C(a,a,0).\]

         \[M\left( {\frac{a}{2},0,\frac{a}{2}} \right),\quad N\left( {\frac{a}{2},\frac{{3a}}{2},0} \right).\]

                \[\overrightarrow {MN} = \left( {0,\frac{{3a}}{2}, - \frac{a}{2}} \right).\]

  \[\overrightarrow {AS} = (0,0,a),\quad \overrightarrow {AC} = (a,a,0).\]

               \[[\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - {a^2},{a^2},0)\]

là VTPT của mặt phẳng \((SAC)\).

\[\sin (MN,(SAC)) = \frac{{|\overrightarrow {MN} \cdot \vec n|}}{{|\overrightarrow {MN} ||\vec n|}} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}.\]

Đáp án cần chọn là: A.