Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB=2a, AD=DC=CB=a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=3a. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng xay.

20/22

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình thang, \[AB = 2a,AD = DC = CB = a,\] $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 3a.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AB.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $DM$ bằng $\frac{{xa}}{y}$ (với $x,y \in {\mathbb{N}^*},\frac{x}{y}$ tối giản). Tính $x + y + xy.$

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 19.

$· Do vậy, $x = 3,y = 4 \Rightarrow x + y + xy = 19.$ (ảnh 1)$

· Ta có $DM\parallel \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {DM,SB} \right) = d\left( {DM,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right)$.

Mặt khác, $AM \cap \left( {SBC} \right) = B$ nên $\frac{{d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)$.

· Tứ giác $AMCD$ có $AM,CD$ song song và bằng nhau nên là hình bình hành. Hơn nữa, $AD = AM$ nên $AMCD$ là hình thoi. Do đó, $AC \bot DM.$ Mà $DM\parallel BC$(do $DMBC$ là hình bình hành) nên $AC \bot BC.$

· Kẻ $AH \bot SC$ tại $H$. Khi đó, \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot {\rm{S}}A\\AC \cap SA = A\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AH\].

Ta có: \[\left. \begin{array}{l}AH \bot SC\\AH \bot BC\\SC \cap BC = C\end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\].

· \[A{C^2} = A{B^2} - B{C^2} = 3{a^2} \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{3}{2}a \Rightarrow d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{3}{4}a\].

· Do vậy, $x = 3,y = 4 \Rightarrow x + y + xy = 19.$