Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với , BC = 4a, SA = 12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính

26/50

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với , $BC = 4a$, $SA = 12a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.

$R = \frac{{13a}}{2}$

$R = 6a$

$R = \frac{{5a}}{2}$

$R = \frac{{17a}}{2}$

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với , $BC = 4a$, $SA = 12a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$. (ảnh 1)$

* Gọi $O$là tâm của hình chữ nhật $ABCD.$ Dựng đường thẳng $Ox$ vuông góc mặt phẳng đáy, ta có $Ox//SA \Rightarrow Ox \cap SC = I.$ Dễ thấy, $I$ là trung điểm của $SC,$ cách đều các đỉnh $S,A,C$ và là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD,$ ta có $R = \frac{{SC}}{2}.$

* Xét tam giác $ABC:AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {9{a^2} + 16{a^2}} = 5a.$

Xét tam giác $SAC:SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {144{a^2} + 25{a^2}} = 13a.$

Vậy $R = \frac{{SC}}{2} = \frac{{13a}}{2}.$

Đáp án A