Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 1, AD = căn bậc hai của 2, SA = 1 và SA vuông góc với (ABCD). Gọi M là trung điểm AD (tham khảo hình vẽ bên dưới). Khoảng cách từ điểm C

Đáp án: 1.

Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\], gọi \[AC \cap BM = \left\{ I \right\}\].

Ta có \[\frac{{d\left( {C;\left( {SBM} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBM} \right)} \right)}} = \frac{{CI}}{{AI}} = 2 \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBM} \right)} \right) = 2d\left( {A;\left( {SBM} \right)} \right)\].

Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\], kẻ \[AK \bot BM\]tại \[K\].

Trong mặt phẳng \[\left( {SAK} \right)\], kẻ \[AH \bot SK\]tại \[H\].

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}BM \bot SA\\BM \bot AK\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow BM \bot AH\].

Khi đó, \[\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BM\\AH \bot SK\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBM} \right) \Rightarrow d\left( {A;(SBM)} \right) = AH\].

Ta có \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} = 4 \Rightarrow AH = \frac{1}{2}\].

Vậy \[d\left( {C,\left( {SBM} \right)} \right) = 2AH = 1\].