Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA vuông góc (ABCD). Biết AB = 1; AD = 2 và SA = 3. Gọi M là trung điểm AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM (Kết quả làm tròn đế

Dựng \(E\) sao cho \(DMEC\)là hình bình hành suy ra \(DM\,{\rm{//}}\,\left( {SCE} \right)\).
Ta có \(AM \cap \left( {SCE} \right) = \left\{ E \right\},\,\,\frac{{EM}}{{EA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow d\left( {M,\,\left( {SCE} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {A,\,\left( {SCE} \right)} \right)\).
Dựng \(AI \bot EC\,\left( {I \in EC} \right),\,\,AH \bot SI \Rightarrow d\left( {A,\,\left( {SCE} \right)} \right) = AH\).

Dựng \(BK \bot EC\,\left( {K \in EC} \right)\) thì khi đó \(BK\,{\rm{//}}\,AI \Rightarrow \frac{{BK}}{{AI}} = \frac{{EB}}{{EA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow AI = 3BK\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác \(BEC\) vuông tại \(B\) ta có:
\(BK = \frac{{BE.BC}}{{EC}} = \frac{{BE.BC}}{{\sqrt {B{E^2} + B{C^2}} }} = \frac{{\frac{1}{2}.2}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( 2 \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {17} }}{{17}}\)\( \Rightarrow AI = \frac{{6\sqrt {17} }}{{17}}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác \(SAI\) vuông tại \(A\) ta có:
\(AH = \frac{{SA.AI}}{{SI}} = \frac{{SA.AI}}{{\sqrt {S{A^2} + A{I^2}} }} = \frac{{3.\frac{{6\sqrt {17} }}{{17}}}}{{\sqrt {{{\left( 3 \right)}^2} + {{\left( {\frac{{6\sqrt {17} }}{{17}}} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {21} }}{7}\).
Vậy \(d\left( {A,\,\left( {SCE} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt {21} }}{7} \Rightarrow d\left( {M,\,\left( {SCE} \right)} \right) = \frac{2}{3}.\frac{{2\sqrt {21} }}{7} = \frac{{4\sqrt {21} }}{{21}} \Rightarrow d\left( {SC,\,DM} \right) = \frac{{4\sqrt {21} }}{{21}} \approx 0,87\).