Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật
Đáp án đúng là B
Phương pháp giải
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta có thể áp dụng phương pháp tọa độ hóa trong không gian
Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(SD\) chéo nhau trong không gian:
\({d_{\left[ {AM,SD} \right]}} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SD} } \right]\overrightarrow {AS} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SD} } \right]} \right|}}\)
Lời giải
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(AB\). Khi đó \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). M là trung điểm \(CD\) nên \(HM \bot HB\).
Đặt hình chóp \(S.ABCD\) vào không gian \(Oxyz\), sao cho \(H \equiv O\), \(HB \equiv Ox,HM \equiv Oy,HS \equiv Oz\).
Ta có \(SH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Tọa độ của các điểm như sau: \(A\left( { - a;0;0} \right);M\left( {0;a;0} \right);S\left( {0;0;a\sqrt 3 } \right);D\left( { - a;a;0} \right)\).
Do đó \(\overrightarrow {AM} = \left( {a;a;0} \right);\overrightarrow {SD} = \left( { - a;a; - a\sqrt 3 } \right);\overrightarrow {AS} = \left( {a;0;a\sqrt 3 } \right)\)
Và \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( { - {a^2}\sqrt 3 ;{a^2}\sqrt 3 ;2{a^2}} \right)\);
\(\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SD} } \right]} \right| = \sqrt {{{\left( { - {a^2}\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {{a^2}\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {2{a^2}} \right)}^2}} = {a^2}\sqrt {10} \);
\(\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SD} } \right].\overrightarrow {AS} } \right| = \left| { - {a^3}\sqrt 3 + 2{a^3}\sqrt 3 } \right| = {a^3}\sqrt 3 \).
Vậy khoảng cách giữa \(AM\) và \(SD\) là:
\({d_{\left[ {AM,SD} \right]}} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SD} } \right]\overrightarrow {AS} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SD} } \right]} \right|}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{{a^2}\sqrt {10} }} = \frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\).