Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh

65/235

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật cạnh \(AB = 2AD = 2a\). Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng\(\left( {SBD} \right)\).

\(a\)

\(\frac{a}{2}\)

\(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Sử dụng tỉ lệ khoảng cách

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh (ảnh 1)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SI \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SI \bot AB}\\{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\left( {gt} \right){\rm{\;}} \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right){\rm{.\;}}}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB}\end{array}} \right.\)

Xét \(\Delta SAB\) đều có cạnh bằng \(2a \Rightarrow SI = a\sqrt 3 \)

Kẻ \(AK \bot BD\) tại \(K\). Ta xét \(\Delta BAD\) có:

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Kẻ \(JI \bot BD\) tại \(J \Rightarrow JI//AK \Rightarrow JI = \frac{1}{2}AK = \frac{{\sqrt 5 a}}{5}\). Ta có: \(BD \bot SI \Rightarrow BD \bot \left( {SJI} \right)\).

Kẻ \(HI \bot SJ\) tại \(H \Rightarrow IH \bot \left( {SBD} \right)\) tại \(H \Rightarrow d\left( {I;\left( {SBD} \right)} \right) = IH\).

Xét \({\rm{\Delta }}SJI\) có: \(\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{J{I^2}}} + \frac{1}{{S{I^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}} \Rightarrow HI = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Do \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên:

\(\frac{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {I;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{AB}}{{AI}} = 2 \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {I;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).