Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a; cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d từ A tới mặt phẳng (SBD). A. d = a; B. d = 2a/3; C. d = a/3; D. d =

Lời giải

Đáp án đúng là B

Gọi K là hình chiếu của A lên BD

Suy ra AK ⊥ BD

Ta có SA ⊥ (ABCD)

Suy ra SA ⊥ BD

Do đó BD ⊥ (SAK)

Từ A kẻ AH ⊥ SK

Mà BD ⊥ (SAK)

Suy ra BD ⊥ AH

Do đó AH ⊥ (SBD)

Khi đó khoảng cách d từ A tới mặt phẳng (SBD) là AH

Xét tam giác ABD vuông tại A có AK ⊥ BD

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\)

Xét tam giác ASK vuông tại A có AH ⊥ SK

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{{\rm{D}}^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2{\rm{a}}} \right)}^2}}} = \frac{9}{{4{{\rm{a}}^2}}}\).

Suy ra \[{\rm{A}}H = \frac{{2{\rm{a}}}}{3}\]

Vậy ta chọn đáp án B.