Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD, CD

a) Ta có điểm \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\), \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\)). Vậy \(O\) là điểm chung thứ hai.

Giao tuyến cần tìm là: \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

b) Ta có điểm \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song: \(AB \subset \left( {SAB} \right)\) và \(CD \subset \left( {SCD} \right)\) với \(AB{\rm{//}}CD\) (do tính chất của hình bình hành \(ABCD\)).

Theo hệ quả về giao tuyến của ba mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua điểm chung \(S\) và song song với cả \(AB\) và \(CD\). Ta có \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d\).

c) Chọn mặt phẳng phụ chứa \(BM\) là mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

Tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ \(\left( {SBD} \right)\) và mặt phẳng đề bài \(\left( {SAC} \right)\).

Theo kết quả câu a, ta có: \(\left( {SBD} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(BM\) và giao tuyến \(SO\): \(I = BM \cap SO\).

Vì \(I \in SO\) mà \(SO \subset \left( {SAC} \right)\) nên \(I \in \left( {SAC} \right)\). Do đó, \(I\) chính là giao điểm cần tìm: \(I = BM \cap \left( {SAC} \right)\).

d) Xét tam giác \(BCD\), ta có:

\(O\) là trung điểm của đường chéo \(BD\) (tính chất hình bình hành).

\(N\) là trung điểm của cạnh \(CD\) (giả thiết).

\( \Rightarrow ON\) là đường trung bình của .

Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right)\) nên suy ra \(ON{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\)\(\left( 1 \right)\).

Xét tam giác \(SDB\), ta có:

\(O\) là trung điểm của \(BD\).

\(M\) là trung điểm của cạnh \(SD\) (giả thiết).

\( \Rightarrow OM\) là đường trung bình của .

Mà \(SB \subset \left( {SBC} \right)\) nên suy ra \(OM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\)\(\left( 2 \right)\).

Mặt khác, hai đường thẳng \(ON\) và \(OM\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) và cắt nhau tại điểm \(O\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), theo định lý về hai mặt phẳng song song, ta kết luận: \(\left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).