Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

48/50

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN=2NB; mặt phẳng α di động qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.MNKQ

3V4

2V3

Giải thích

Đáp án B

Gọi a=SKSC 0≤a≤1

Vì mặt phẳng α di động đi qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q nên ta có đẳng thức SASM+SCSK=SBSN+SDSQ⇒2+1a=32+SDSQ⇔SQSD=2a2+a.

Ta có VS.MNKQVS.ABCD=12SMSA.SNSB.SKSC+SMSA.SKSC.SQSD=124a3−2a+2=2a3−1a+2

Xét hàm fa=2a3−1a+2 trên đoạn [0;1], ta được max0; 1fa=f1=13.

Ta chứng minh SASM+SCSP=SBSN+SDSQ

Ta có VS.ABCD=VSPNQ+VSQMP (*). Ta đặt V=VS.ABCD⇒VSABC=VSABD=VSBCD=V2

VSMNQVSABD=2VSMNQV=SMSA.SNSB.SQSD⇒VSNMQ=SMSA.SNSB.SQSD.V2

Tương tự VSPNQ=SPSC.SNSB.SQSD.V2; VSMNP=SPSC.SNSB.SMSA.V2; VSPQM=SPSC.SMSA.SQSD.V2.

Từ (*) ta được: SMSA.SNSB.SQSD+SPSC.SNSB.SQSD=SPSC.SNSB.SMSA+SPSC.SMSA.SQSD

Chia cả 2 vế cho SPSC.SMSA.SNSB.SQSD ta được SASM+SCSP=SBSN+SDSQ