Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ diện có các cặp cạnh đối không song song. Gọi M là trung điểm của cạnh SA. a) Tìm giao điểm P của đường thẳng SB với mặt phẳng (CDM).

a) Tìm giao điểm P của SB với (CDM).

Chọn \(\left( {SAB} \right)\)\( \supset SB\).

\(M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MCD} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}N \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\N \in CD \subset \left( {MCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow N \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MCD} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\left( {SAB} \right) \cap \left( {MDC} \right) = MN\)

Trong \(\left( {SAB} \right)\), gọi \(P = MN \cap SB\)

 Vậy \(P = SB \cap \left( {MCD} \right).\)

b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng các đường thẳng SO, DP và CM đồng quy.

Trong \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(I = SO \cap CM \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in SO \subset \left( {SBD} \right)\\I \in CM \subset \left( {DMN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SBD} \right) \cap \left( {DMN} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}P \in SB \subset \left( {SBD} \right)\\P \in MN \subset \left( {DMN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow P \in \left( {SBD} \right) \cap \left( {DMN} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\D \in \left( {SBD} \right) \cap \left( {DMN} \right)\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ (1), (2), (3) suy ra I, P, D thẳng hàng hay SO, CM, PD đồng quy tại I.