Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh 2a với AD = 4a, biết rằng SA vuông góc với (ABCD) và SA = 2a căn bậc hai 3. Tính tan góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Đáp án: 2,65.

Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\], do \[ABCD\] là nửa lục giác đều nên \[OI \bot AD\]Chọn hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ

Khi đó \[S\left( {0; - 2a;2a\sqrt 3 } \right),A\left( {0; - 2a;0} \right),B\left( {a\sqrt 3 ; - a;0} \right),C\left( {a\sqrt 3 ;a;0} \right),D\left( {0;2a;0} \right)\].

Gọi góc giữa 2 mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] là \[b.\]

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {SA} \left( {0;0; - 2a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {SB} \left( {a\sqrt 3 ;a; - 2a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {SC} \left( {a\sqrt 3 ;3a; - 2a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {SD} \left( {0;4a; - 2a\sqrt 3 } \right),\\\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {2{a^2}\sqrt 3 ; - 6{a^2};0} \right),\left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {2{a^2}\sqrt 3 ;6{a^2};4{a^2}\sqrt 3 } \right)\end{array}\]

Suy ra vectơ pháp tuyến của \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] lần lượt là

\[\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;\sqrt 3 ;2} \right),\cos b = \frac{{\left| {1 - 3 + 0} \right|}}{{\sqrt {1 + 3 + 0} .\sqrt {1 + 3 + 4} }} = \frac{1}{{\sqrt 8 }} \Rightarrow \tan b = \sqrt {\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}b}} - 1}  = \sqrt 7  \approx 2,65.\]