Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của SB và SD. J là giao điểm của SA với mặt phẳng (CKB). Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) ĐÚNG: Ta tìm \(J\) là giao điểm của \(SA\) với mặt phẳng \(\left( {CKB} \right)\). Chọn mặt phẳng \[\left( {SAD} \right)\] chứa đường thẳng \(SA\), ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAD} \right)\] và \(\left( {CKB} \right)\).
Ta có \(K \in \left( {CKB} \right)\) và \(K \in SD \subset \left( {SAD} \right)\), vậy \(K\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \[\left( {SAD} \right)\] và \(\left( {CKB} \right)\).
Lại có hai mặt phẳng \[\left( {SAD} \right)\] và \(\left( {CKB} \right)\) lần lượt chứa hai đường thẳng \[AD\] và \[CB\] song song với nhau nên theo định lý giao tuyến song song, giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua điểm \(K\) và song song với \[AD\] và \[CB\].
Mà \(K\) là trung điểm của \(SD\) nên xét trong tam giác \(SAD\), đường thẳng đi qua \(K\) và song song với \[AD\] cắt đường thẳng \(SA\) tại trung điểm của nó. Như vậy điểm \(J\) được xác định đồng thời là trung điểm của \(SA\).
Khi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SA\), đoạn \(IJ\) tạo thành đường trung bình của tam giác \(SAB\), suy ra \(IJ{\rm{//}}AB\). Mặt khác \(AB{\rm{//}}CD\), do đó \(IJ{\rm{//}}CD\).
b) ĐÚNG:\(C \in OA \subset \left( {OIA} \right)\) và \(C \in \left( {SCD} \right)\) nên hai mặt phẳng \(\left( {OIA} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) có một điểm chung là \(C\).
Ta có \(OI\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\) nên \(OI{\rm{//}}SD\).
Hai mặt phẳng \(\left( {OIA} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) lần lượt chứa hai đường thẳng song song nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua \(C\) và song song với \(SD\) và \(OI\).
c) ĐÚNG: Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\), điểm chung thứ nhất là đỉnh \(S\). Ở phần đáy, giao điểm hai đường chéo là \(O = AC \cap BD\) tạo nên điểm chung thứ hai. Giao tuyến chung là đường thẳng \(SO\).
d) SAI: Theo chứng minh ở ý a).