Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và SA = a căn 3. Tính côsin góc giữa SB và AC

91/235

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh bằng $a;SA$ vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt 3 $. Tính côsin góc giữa $SB$ và $AC$.

$\frac{{\sqrt 2 }}{4}$

$\frac{{\sqrt {14} }}{4}$

$\frac{{\sqrt 3 }}{4}$

$2\sqrt 2 $

Giải thích

Phương pháp giải

Gọi I là trung điểm của SD, H là trung điểm OA. Khi đó ${\rm{cos}}\angle \left( {SB,AC} \right) = {\rm{cos}}\angle HOI$.

Giải chi tiết

$Cho hình chóp $S,ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh bằng (ảnh 1)$

Gọi $I$ là trung điểm của $SD$
$ \Rightarrow OI$ là đường trung bình của
Suy ra Ol / /SB
$OI = \frac{{SB}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {3{a^2} + {a^2}} }}{2} = a$vi $OI//SB \Rightarrow \left( {SB,AC} \right) = \angle \left( {OI,AC} \right) = \angle AOI$
Ta có $AI = \frac{{SD}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {3{a^2} + {a^2}} }}{2} = a$
cân tại $I$.
Gọi $H$ là trung điểm của $OA \Rightarrow IH \bot OA$ và $OH = \frac{{OA}}{2} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$

Xét có ${\rm{cos}}\angle HOI = \frac{{OH}}{{OI}} = \frac{{\bar 4}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$
Vậy ${\rm{cos}}\angle \left( {SB,AC} \right) = {\rm{cos}}\angle HOI = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

Đáp án cần chọn là: A