Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuống góc (ABCD), SA = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, SC
15/22
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = 2a\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SC\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SBD\).
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \).
\(\overrightarrow {SA} \cdot \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \vec 0\).
\(6\overrightarrow {IG} = 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AS} \).
Lấy điểm \(M\) thoả mãn \(\overrightarrow {AM} + k\overrightarrow {AC} = \vec 0\). Khi đó \(\overrightarrow {MG} \bot \overrightarrow {BD} ,\forall k \ne 0\).
a) Đúng. Vì đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) nên \(O\) là trung điểm của đường chéo \(AC\). Xét tam giác \(SAC\), đường thẳng \(SO\) là đường trung tuyến. Theo tính chất hình học vectơ cơ bản, ta có \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \).
b) Đúng. Ta biến đổi hiệu hai vectơ: \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \).
Do đường thẳng \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy, cụ thể là \(SA \bot BC \Rightarrow \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\).
c) Đúng. Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SBD\) nên với một điểm \(I\) bất kỳ ta có mối liên hệ: \(\overrightarrow {IS} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {IG} \Rightarrow 6\overrightarrow {IG} = 2\overrightarrow {IS} + 2\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {ID} \).
Vì \(I\) là trung điểm \(SA\) nên \(2\overrightarrow {IS} = \overrightarrow {AS} \).
Chèn điểm gốc \(A\) vào hai vectơ còn lại:
\(2\overrightarrow {IB} = 2\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} } \right) = 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AS} \) (vì \(2\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AS} \)).
\(2\overrightarrow {ID} = 2\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AI} } \right) = 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AS} \).
Cộng tổng lại ta được: \(6\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {AS} + 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AS} + 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AS} = 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AS} \).
d) Đúng. Từ \(\overrightarrow {AM} + k\overrightarrow {AC} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {AM} = - k\overrightarrow {AC} \), suy ra điểm \(M\) di động trên đường thẳng \(AC\).
Hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) xuống đáy là \(A\), hình chiếu của trọng tâm \(G\) xuống đáy nằm trên đoạn thẳng \(AC\). Do đó, đường thẳng hình chiếu của \(MG\) xuống đáy trùng với đường thẳng \(AC\).
Mặt khác, trong hình vuông \(ABCD\) hai đường chéo vuông góc với nhau: \(AC \bot BD\). Theo định lý ba đường vuông góc, ta suy ra đường thẳng không gian \(MG \bot BD\) với mọi vị trí của điểm \(M\) trên đường chéo.