Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh\[AB,CD\]; \[H\] là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(SN.\)

Vì \[AB{\rm{//}}CD\] nên \(d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right)\)

                           \( = d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)\)\( = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SO\\CD \bot ON\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SON} \right) \Rightarrow CD \bot OH\].

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OH\\OH \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\].

Tam giác \(SON\) vuông tại \(O\) nên \[\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{N^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\].

Vậy \(d\left( {AB,SC} \right) = 2OH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\). Chọn D.