Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, cạnh bên SA=a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD

Cách 1: Ta có: \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SD\) nên \(MN//BD\).

Gọi \(O=AC∩BD⇒SO⊥BD,SO⊥MN\).

Gọi \(I=SO∩MN⇒I\) là trung điểm của \(MN,SO⇒AI⊥MN\).

Ta có: \((AMN)∩(SBD)=MN;AI⊥MN,SO⊥MN\)

nên \(((AMN);(SBD))=(AI;SO)\).

Xét tam giác \(SAO\) vuông tại \(A\) có \(SA=a,AO=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt[]{2}}{2}a\)

nên \(SO=\sqrt[]{S{A}^{2}+A{O}^{2}}=\frac{\sqrt[]{6}}{2}a\)

\(⇒sin⁡∠ASO=\frac{1}{\sqrt[]{3}};cos⁡∠ASO=\frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{3}}\).

Mà \(∠AIO=2.∠ASO⇒sin⁡∠AIO=2.sin⁡∠ASO.cos⁡∠ASO=2.\frac{1}{\sqrt[]{3}}⋅\frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{3}}=\frac{2\sqrt[]{2}}{3}\)

Cách 2: Toạ độ hoá.

Đáp án đúng là D

Mở rộng:

Xác định giao tuyến, tìm 2 đường thẳng lần lượt nằm trong 2 \(MP\) và cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm