Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4

Đáp án: 9,24.

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ với điểm \(A\) trùng gốc tọa độ.

Ta có: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {4;0;0} \right)\), \(C\left( {4;4;0} \right)\), \(D\left( {0;4;0} \right)\) và giả sử \(S\left( {x;y;z} \right)\).

Do \(\Delta SAB\) đều nên \[\left\{ \begin{array}{l}SA = SB\\SA = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {4 - x} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 16\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\{y^2} + {z^2} = 12\end{array} \right.\].

Tương tự, \[\Delta SCD\] vuông cân tại \(S\) nên \[SC = SD = \frac{{CD}}{{\sqrt 2 }} = \frac{4}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \]

\[ \Rightarrow {x^2} + {\left( {4 - y} \right)^2} + {z^2} = 8 \Rightarrow {\left( {4 - y} \right)^2} + {z^2} = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {z^2} = 12\\{\left( {4 - y} \right)^2} + {z^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\z = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\].

Vậy \[S\left( {2;3;\sqrt 3 } \right)\] hoặc \[S\left( {2;3; - \sqrt 3 } \right)\] nên chiều cao của khối chóp \(S.ABCD\) là \[\left| {{z_S}} \right| = \sqrt 3 \].

Khi đó: \[V = \frac{1}{3} \times {S_{ABCD}} \times h = \frac{1}{3} \times {4^2} \times \sqrt 3 = \frac{{16\sqrt 3 }}{3} \approx 9,24\] (đvtt).