Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều, SA = a căn bậc hai 2.

Đáp án: \[6080\].

Đặt cạnh đáy hình vuông là \(x\), suy ra đường chéo \(BD = x\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông \(SAB\) và \(SAD\), ta có \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = \sqrt {2{a^2} + {x^2}} \).

Vì tam giác \(SBD\) đều nên \(SB = BD \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} + {x^2}}  = x\sqrt 2  \Leftrightarrow 2{a^2} + {x^2} = 2{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 2{a^2}\).

Diện tích đáy \({S_{ABCD}} = {x^2} = 2{a^2}\).

Thể tích khối chóp là \(V = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 2  \cdot 2{a^2} = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}\).

Suy ra \(m = 2,n = 3\). Phân số \(\frac{2}{3}\) tối giản.

Tính \(m + 2026n = 2 + 2026 \times 3 = 6080\).