Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Tam giác SAB cân tại S diện tích bằng 6 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính côsin của góc nhị diện [S; AC; D].

Đáp án: \[ - 0,4\].

Gọi \[O\] là trung điểm của \[AB\], do tam giác \[SAB\]cân tại S nên \[SO \bot AB\] mà \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\]. Suy ra \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\]. Chọn hệ trục toạ độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ

Diện tích tam giác \[SAB\] là \[\frac{1}{2}.SO.AB = 6 \Leftrightarrow SO = 3\].

Khi đó \[S\left( {0;0;3} \right),O\left( {0;0;0} \right),A\left( { - 2;0;0} \right),C\left( {2;4;0} \right),D\left( { - 2;4;0} \right)\].

Phương trình tham số đường thẳng \(AC\)là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\). Gọi \(J\)là hình chiếu của \(S\)lên \(AC\).

Có \(J\left( {t - 2;t;0} \right)\) mà \(\overrightarrow {SJ} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {JS} \left( {1; - 1;3} \right)\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(D\)lên \(AC\)tương tự suy ra \(\overrightarrow {KD} \left( { - 2;2;0} \right)\).

\[{\rm{cos}}\left[ {S;AC;D} \right] = {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {JS} ,\overrightarrow {KD} } \right) \approx  - 0,4\].