Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ).

Xét mệnh đề a)
Ta có \(I\) là trung điểm của \(SB\) và \(K\) là trung điểm của \(SC\) nên \(IK\) là đường trung bình của \(\Delta SBC \Rightarrow IK\parallel BC\)
Mặt khác \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC\parallel AD \Rightarrow IK\parallel AD\) mà \(AD \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow IK\parallel \left( {SAD} \right)\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD \bot AC\) mà \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right)\\BD \subset ABCD\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot BD\)
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Góc nhị diện giữa \[\left( {SCD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến \[CD\]
Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right),\] ta có \[AD \bot CD\] (vì \[ABCD\] là hình vuông).
Ta có: \[CD \bot AD\] và \[CD \bot SA\] (vì \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\]) nên suy ra \[CD \bot \left( {SAD} \right)\]
Vì \[CD \bot \left( {SAD} \right)\] nên \[CD \bot SD\]
Vậy góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] chính là góc \[\widehat {SDA}\]
Khi \[SA = x = 2\] ta có \[SA = 2\]. Xét tam giác vuông \[SAD\], có \[SA = 2\] và \[AD = 2.\]
Tam giác \[SAD\] vuông cân tại \[A\] suy ra \[\widehat {SDA} = 45^\circ \] nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Đặt \(AM = y\) thì \(0 < y < 2\) và \(\Delta SAM\) vuông nên \(S{M^2} = S{A^2} + A{M^2} \Rightarrow x = \sqrt {4 - {y^2}} \)
Thể tích khối chóp \({V_{S.AMC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{\Delta AMC}} = \frac{1}{3}.SA.\left( {{S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta MBC}}} \right) = \frac{1}{3}.SA.\left( {{S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta MBC}}} \right)\)
Ta có: \({S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta MBC}} = \frac{1}{2}AB.BC - \frac{1}{2}MB.BC = y \Rightarrow {V_{S.AMC}} = \frac{1}{3}.x.y = \frac{1}{3}.\sqrt {4 - {y^2}} .y = f\left( y \right)\)
Khảo sát hàm số \(f\left( y \right)\) trên \(\left( {0;2} \right)\) đạt max tại \(y = \sqrt 2 \) mệnh đề d) sai