Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB, góc giữa SC và mặt đáy bằng 30 độ. Tính thể tích V củ

51/78

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh bằng \[1\]. Hình chiếu vuông góc của \[S\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] là trung điểm \[H\] của cạnh \[AB\], góc giữa \[SC\] và mặt đáy bằng \[30^\circ \]. Tính thể tích \(V\) của khối chóp \[S.ABCD\].

\(V = \frac{{\sqrt {15} }}{6}\).

\(V = \frac{{\sqrt {15} }}{{18}}\).

\(V = \frac{1}{3}\).

\(V = \frac{{\sqrt 5 }}{6}\).

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB, góc giữa SC và mặt đáy bằng 30 độ. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD (ảnh 1)

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của \(SC\) trên mặt phẳng đáy \[\left( {ABCD} \right)\] là \(HC\).

Do đó góc giữa \[SC\] và mặt đáy (ABCD) là \(\widehat {SCH} = 30^\circ \).

Tam giác vuông \(BCH\), có \(HC = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)

Tam giác vuông \(SHC\), có \(SH = HC.\tan \widehat {SCH} = \frac{{\sqrt {15} }}{6}.\)

Diện tích hình vuông \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = 1\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \frac{{\sqrt {15} }}{{18}}.\)