Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = 2a. a) Chứng minh (SCD) vuông góc (SAD). b) Tính d(A, (SCD)).

Lời giải

a) Vì SA ⊥(ABCD) nên SA ⊥ CD

Vì ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD

Suy ra CD ⊥ (SAD)

Mà CD ⊂ (SCD)

Suy ra (SCD) ⊥ (SAD).

b) Kẻ AH ⊥SD

Mà CD ⊥ (SAD) nên CD ⊥AH

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot S{\rm{D}}\\AH \bot C{\rm{D}}\end{array} \right.\)

Suy ra AH ⊥(SCD)

Do đó d(A, (SCD)) = AH 

Vì tam giác SAD vuông tại A nên theo định lí Pytago ta có

\[{\rm{SD}} = \sqrt {{\rm{A}}{{\rm{D}}^2} + S{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {{\rm{2a}}} \right)}^2}} = a\sqrt 5 \]

Vì tam giác SAD vuông tại A có AH ⊥ SD

Suy ra AH . SD = SA . AD

Do đó\[{\rm{A}}H = \frac{{SA.A{\rm{D}}}}{{S{\rm{D}}}} = \frac{{2a.a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2{\rm{a}}}}{{\sqrt 5 }}\]

Vậy \[d\left( {A,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = \frac{{2{\rm{a}}}}{{\sqrt 5 }}\].