Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác cân tại

38/50

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABCD$bằng:

\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\].

\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\].

\[\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{24}}\].

\[\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}\].

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác cân tại (ảnh 1)$

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, $\Delta SAB$ cân tại $S$

$ \Rightarrow SH \bot AB$.

Ta có $\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right);SH \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Do đó, $\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SCH} = 45^\circ $.

$ \Rightarrow \Delta SHC$ vuông cân tại $H$.

$ \Rightarrow SH = HC = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$; ${S_{ABCD}} = A{B^2} = {a^2}$.

$ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SH = \frac{1}{3}{a^2} \cdot \frac{{a\sqrt 5 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}$. Chọn D.

50 bài tập Hình học không gian có lời giải

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác cân tại