Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên ( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng

43/120

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SAD} \right)\] cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[{45^0}.\] Gọi \[{V_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {V_2}\] lần lượt là thể tích khối chóp \[S.AHK\] và \[S.ACD\] với \[H,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} K\] lần lượt là trung điểm của \[SC\] và \[SD.\] Tính độ dài đường cao của khối chóp \[S.ABCD\] và tỉ số \[k = \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\]

\[h = 2a;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} k = \frac{1}{3}\]

\[h = a;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} k = \frac{1}{6}\]

\[h = 2a;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} k = \frac{1}{8}\]

\[h = a;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} k = \frac{1}{4}\]

Giải thích

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tỉ lệ thể tích: Cho các điểm \[M \in SA,N \in SB,P \in SC\] ta có: \[\frac{{{V_{SMNP}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}}.\]

Giải chi tiết:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên ( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng (ảnh 1)

Ta có: \[\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = \left\{ {SA} \right\}\]\[ \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right).\]

\[ \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SD;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AD} \right) = \angle SAD = {45^0}\]

\[ \Rightarrow \Delta SAD\] là tam giác vuông cân tại A \[ \Rightarrow h = SA = AD = a.\]

Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có: \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{{V_{S.AHK}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SH}}{{SC}}.\frac{{SK}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.\]