Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, góc SAD = 90 độ, mặt bên SAB là tam giác đều. Gọi M, N theo thứ tự là trọng tâm tam giác SAB, tam giác SCD, I là giao điểm của BM và CN.

50/50

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông canh $a$, $\widehat {SAD} = {90^0}$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trọng tâm $\Delta SAB;\,\;\Delta SCD$, $I$ là giao điểm của các đường thẳng $BM;\,\;CN$. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(AIC)$và các mặt của hình chóp?

$S = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{8}$

$S = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}$.

$S = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{6}$.

$S = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{9}$.

Giải thích

Chọn A

$Từ (1),(2),(3) \[ \Rightarrow k = \frac{{IC}}{{ID (ảnh 1)$

Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và CD.

Ta có $I = BM \cap CN$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in BM \subset \left( {SAB} \right)\\I \in CN \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right).$

Mà $S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$. Do đó $\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SI.$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}AB//CD\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SI\end{array} \right\} \Rightarrow SI//AB//CD$.Vì $SI//CD$ nên $SI//CF$.

Theo định lý Ta – let ta có: $\frac{{SI}}{{CF}} = \frac{{SN}}{{NF}} = 2 \Rightarrow SI = 2CF = CD = a$.

Gọi $J$là giao điểm của $SD$và $IC$. Suy ra hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(AIC)$và các mặt của hình chóp là tam giác \[ACJ\].

+ Tứ giác $SIDC$ là hình bình hành $ \Rightarrow J$là trung điểm của $SD,CI$

Mặt khác, $AC = SD = a\sqrt 2 \Rightarrow AJ = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$,

+ Tứ giác $SIAB$là hình bình hành \[ \Rightarrow AI = AB = a\]

Xét tam giác $IAC$có $C{I^2} = 2(A{C^2} + A{I^2}) - 4A{J^2} = 4{a^2} \Rightarrow CI = 2a \Rightarrow CJ = a$.

Ta có: \[\cos \widehat {CAJ} = \frac{{A{J^2} + A{C^2} - C{J^2}}}{{2.AC.AJ}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2} + 2{a^2} - {a^2}}}{{2{a^2}}} = \frac{3}{4}\]

$ \Rightarrow \sin \widehat {CAJ} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}$

Diện thích thiết diện là ${S_{\Delta AJC}} = \frac{1}{2}AC.AJ.\sin \widehat {CAJ} = \frac{1}{2}a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 7 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{8}$(đvdt).