Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy

12/22

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, và $\widehat {SBA} = {45^0}$. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $A$ và vuông góc với $SC$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo thiết diện là tứ giác $AB'C'D'$ có diện tích bằng:

$\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

$\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.

$\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}$.

$\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}$.

Giải thích

Chọn C

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy (ảnh 1)$

$\widehat {SBA} = {45^0}$ nên $SA = a$.

Kẻ $AC' \bot SC$. Ta có $B'D' \bot SC$ và $BD \bot SC$ và $SC$ không vuông góc với mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, suy ra $BD//B'D'$. Nên từ $I = SO \cap AC'$ nên từ $I$ kẻ $B'D'//BD$ cắt $SB$, $SD$ lần lượt tại $B'$, $D'$

Mà $BD \bot (SAC)$ nên $B'D' \bot (SAC)$

Từ trên suy ra $B'D' \bot AC'$ và $\left\{ \begin{array}{l}AB' \bot SC\\AB' \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AB' \bot SB$.

Suy ra ${S_{AB'C'D'}} = \frac{1}{2}AC'.B'D'$. Mà vuông tại $A$ và $AC'$ là đường cao nên $AC' = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$ và $\frac{{B'D'}}{{BD}} = \frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2.a\sqrt 2 }} = \frac{1}{2}$$ \Rightarrow B'D' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy ${S_{AB'C'D'}} = \frac{1}{2}AC'.B'D' = \frac{{\sqrt 3 }}{6}{a^2}$.

Đề kiểm tra Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (có lời giải) - Đề 3

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy