Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên đều bằng a. Gọi M là trung điểm của CD. Côsin của góc giữa hai đường thẳng SM và AC bằng

8/35

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\], các cạnh bên đều bằng \[a\]. Gọi \[M\] là7Xu| trung điểm của \[CD\]. Côsin của góc giữa hai đường thẳng \[SM\] và \[AC\] bằng

\(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

\(\frac{{\sqrt 6 }}{6}\).

\(\frac{{\sqrt 6 }}{{12}}\).

Giải thích

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên đều bằng a. Gọi M là trung điểm của CD. Côsin của góc giữa hai đường thẳng SM và AC bằng (ảnh 1)

Gọi \[N\] là trung điểm của \[AD\]. Khi đó \[MN\,{\rm{//}}\,AC\] nên \[\left( {SM,AC} \right) = \left( {SM,MN} \right)\].

\[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\]\[ \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \]\[ \Rightarrow MN = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].

\[\Delta SCD\] là tam giác đều cạnh \[a\]\[ \Rightarrow SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

\[\Delta SAD\] là tam giác đều cạnh \[a\]\[ \Rightarrow SN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

\[SM = SN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] \[ \Rightarrow \Delta SMN\] cân tại \[S\]\[ \Rightarrow \widehat {SMN} < 90^\circ \].

Vậy \[\left( {SM,AC} \right) = \left( {SM,MN} \right) = \widehat {SMN}\].

Trong \[\Delta SMN\], ta có: \[\cos \widehat {SMN} = \frac{{S{M^2} + M{N^2} - S{N^2}}}{{2SM.SN}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\].

Vậy \[\cos \left( {SM,AC} \right) = \cos \widehat {SMN} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\]. Chọn C.