Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4 . Hai mặt bên ( S A B ) và ( S A D ) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng ( S C D ) và ( A B C D ) bằng 45 o

Đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4 . Hai mặt bên \((SAB)\) và \((SAD)\) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng \((SCD)\) và \((ABCD)\) bằng \({45^^\circ }\). Gọi \({V_1};{V_2}\) lần lượt là thể tích khối chóp S.AHK và S.ACD với H, K lần lượt là trung điểm của SC và SD. Độ dài đường cao của khối chóp S.ABCD là 4  và tỉ số \(k = \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \)\(\frac{1}{4}\) .

Giải thích

Do \((SAB)\) và \((SAD)\) cùng vuông góc với mặt đáy nên \(SA \bot (ABCD)\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot AD}\\{CD \bot SA}\end{array} \Rightarrow CD \bot (SAD) \Rightarrow CD \bot SD} \right.\).

Dễ thấy góc giữa hai mặt phẳng \((SCD)\) và \((ABCD)\) là \(\widehat {SDA} = {45^o }\).

Ta có tam giác SAD là tam giác vuông cân đỉnh \(A\).

\( \Rightarrow h = SA = 4.{\rm{ }}\)

Áp dụng công thức tỉ số thể tích có: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{SH}}{{SC}}.\frac{{SK}}{{SD}} = \frac{1}{4}\).