Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a
31/234
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), cạnh bên \(SA = a\sqrt 5 \), mặt bên \(SAB\) là tam giác cân đỉnh \(S\) và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình bên). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(SC\).
\(\frac{{3a\sqrt 5 }}{5}\).
\(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
\(\frac{{4a\sqrt 5 }}{5}\).
\(\frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).
Đáp án đúng là C
Phương pháp giải
Lời giải
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\); gọi \(I\) là hình chiếu của \(H\) trên \(SB\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB}\\{SH \subset \left( {SAB} \right)}\\{SH \bot AB}\end{array} \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right.\).
Lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}\\{BC \bot AB}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)} \right.\).
Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HI \bot SB}\\{HI \bot BC}\end{array} \Rightarrow HI \bot \left( {SBC} \right)} \right.\).
Vì \(AD//BC \Rightarrow AD//\left( {SBC} \right)\) và \(SC \subset \left( {SBC} \right)\) nên
\({\rm{d}}\left( {AD,SC} \right) = {\rm{d}}\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2.{\rm{d}}\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = 2HI\)
Trong tam giác \(SAH\) vuông tại \(H\), ta có \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = 2a\).
Trong tam giác \(SHB\) vuông tại \(H\)
\(HI = \frac{{HS.HB}}{{\sqrt {H{S^2} + H{B^2}} }} = \frac{{2a.a}}{{\sqrt {{{(2a)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)
Do đó \({\rm{d}}\left( {AD,SC} \right) = 2.\frac{{2a\sqrt 5 }}{5} = \frac{{4a\sqrt 5 }}{5}\).