Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a căn bậc hai 5, mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình bên).

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \[AB;\] gọi \(I\) là hình chiếu của \(H\) trên \[SB.\]

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAB) \bot (ABCD)}\\{(SAB) \cap (ABCD) = AB}\\{SH \subset (SAB)}\\{SH \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow SH \bot (ABCD).\)

Lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SH\quad (SH \bot (ABCD))}\\{BC \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB).\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HI \bot SB}\\{HI \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow HI \bot (SBC).\)

Vì \(AD//BC \Rightarrow AD//(SBC)\) và \(SC \subset (SBC)\) nên

\({\rm{d}}(AD,SC) = {\rm{d}}(AD,(SBC)) = {\rm{d}}(A,(SBC)) = 2 \cdot {\rm{d}}(H,(SBC)) = 2HI\)

Trong tam giác \[SAH\]vuông tại \(H\), ta có \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = 2a\).

Trong tam giác \[SHB\]vuông tại \(H\)

\(HI = \frac{{HS \cdot HB}}{{\sqrt {H{S^2} + H{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {{{(2a)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)

Do đó \({\rm{d}}(AD,SC) = 2 \cdot \frac{{2a\sqrt 5 }}{5} = \frac{{4a\sqrt 5 }}{5}.\)

Đáp án cần chọn là: C