Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AB và biết số đo góc nhị diện [S, AD, B] = 60°. Tính

21/22

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh bằng \[2\]. Hình chiếu vuông góc của điểm \[S\] lên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] trùng với trung điểm của cạnh \[AB\] và biết số đo góc nhị diện \[\left[ {S,AD,B} \right] = 60^\circ \], tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AB\] và \[SC\] (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 1,31.

$Vây $d\left( {AB,SC} \right) = \frac{{\sqrt {12} }}{{\sqrt 7 }} \approx 1,31$. (ảnh 1)$

Gọi $H$ là trung điểm $AB$, suy ra $SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Do $AD \bot AB$ nên $AD \bot SA$, suy ra \[\left[ {S,AD,B} \right] = \widehat {SAB} = 60^\circ \] và

\[SH = AH.\tan \widehat {SAH} = \frac{{AB}}{2}.\tan 60^\circ = \frac{2}{2}.\sqrt 3 = \sqrt 3 \].

Do $mp\left( {SCD} \right)$ đi qua $SC$ và song song với $AB$ nên

$d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)$.

Kẻ $HK \bot CD$ ($K$ là trung điểm $CD$) và kẻ $HI \bot SK$ thì $HI \bot \left( {SCD} \right)$ hay $d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HI$

Có $\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{{12}}$, suy ra $HI = \frac{{\sqrt {12} }}{{\sqrt 7 }}$.

Vây $d\left( {AB,SC} \right) = \frac{{\sqrt {12} }}{{\sqrt 7 }} \approx 1,31$.