Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB=1 , cạnh bên SA=1 và vuông góc với mặt phẳng đáy (ANCD) . Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho

48/50

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB=1, cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD. Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho MAN^=45°. Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.AMN là?

2+19.

2−13.

2+16.

2−19.

Giải thích

Đáp án B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB=1 , cạnh bên SA=1 và vuông góc với mặt phẳng đáy (ANCD) . Kí hiệu M là điểm di động trên đoạn CD và N là điểm di động trên đoạn CB sao cho góc MAN=45 độ . Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.AMN là? (ảnh 1)

Đặt DM=x, BN=y ta có

tan45°=tanDAM^+BAN^=tanDAM^+tanBAN^1−tanDAM^.tanBAN^=x+y1−xy.

Suy ra y=1−x1+x và AM=AD2+DM2=x2+1 AN=AB2+BN2=1+y2=1−x1+x2+1=2x2+1x+1,

Vì vậy V=13SA.SΔAMN=16SA.AM.AN.sin45°=x2+16x+1.

Xét hàm số y=fx=x2+16x+1.

Khảo sát ta có fx≤f2−1=2−13.