Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và AB = BD = a, SA = a căn 3, SA vuông góc (ABCD). Gọi M là điểm trên cạnh SB sao cho BM = 2/3SB

41/235

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi và $AB = BD = a$, $SA = a\sqrt 3 $,$SA \bot (ABCD)$. Gọi M là điểm trên cạnh SB sao cho $BM = \frac{2}{3}SB$. Giả sử N là điểm di động trên cạnh AD. Tìm vị trí điểm N để $BN \bot DM$?

N nằm trên cạnh $AD$ sao cho $AN = \frac{3}{5}AD$

N nằm trên cạnh AD sao cho $AN = \frac{2}{5}AD$

N nằm trên cạnh AD sao cho $AN = \frac{4}{5}AD$

N nằm trên cạnh AD sao cho $AN = \frac{3}{4}AD$

Giải thích

Phương pháp giải

Phân tích vectơ.

Giải chi tiết

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi và$AB = BD = a$ (ảnh 1)$

Vẽ $ME\parallel SA \Rightarrow ME \bot (ABCD)$

Do đó$DM \bot BN \Leftrightarrow DE \bot BN$. Đặt$AN = xAD$.

Ta có: $\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AE} = - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} $

$\overrightarrow {BN} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} $

Vì $BN \bot DE$ nên:

$\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} } \right) = 0$

$ \Leftrightarrow - 3xA{D^2} - A{B^2} + (3 + x)\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0$

Vì tam giác ABD đều nên: $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = A B \cdot A D \cdot \cos B A D = a \cdot a \cdot \cos 60^{°} = \frac{a^{2}}{2}$

Suy ra:$ - 3a{x^2} - {a^2} + \frac{{{a^2}(3 + x)}}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{5} \Rightarrow AN = \frac{2}{5}AD$

Đáp án cần chọn là: B

Mở rộng:

Công thức tổng quát: Nếu thì N nằm trên AD với tỉ lệ $AN:ND = k:1$
Đặt tham số cho điểm di động, chuyển điều kiện về vectơ/toạ độ.