Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và AB = BD = a,SA = a căn 3

8/235

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và \(AB = BD = a,SA = a\sqrt 3 ,SA \bot (ABCD)\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh SB sao cho \(BM = \frac{2}{3}SB\). Giả sử \(N\) là điểm di động trên trên cạnh AD. Tìm vị trí điểm \(N\) để \(BN \bot DM\)?

\(N\) nằm trên cạnh AD sao cho \(AN = \frac{3}{5}AD\)

\(N\) nằm trên cạnh AD sao cho \(AN = \frac{2}{5}AD\)

\(N\) nằm trên cạnh AD sao cho \(AN = \frac{4}{5}AD\)

\(N\) nằm trên cạnh AD sao cho \(AN = \frac{3}{4}AD\)

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Phân tích vecto.

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và AB = BD = a,SA = a căn 3 (ảnh 1)

Vẽ , do đó \(DM \bot BN \Leftrightarrow DE \bot BN\). Đặt \(AN = xAD\)

Ta có : \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AE} = - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

\(\overrightarrow {BN} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} \)

Vì \(BN \bot DE \Rightarrow (3\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} )(\overrightarrow {AB} - x\overrightarrow {AD} ) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 3xA{D^2} - A{B^2} + (3 + x)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)

Vì tam giác ABD đều nên: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = AB.AD.\cos \widehat {BAD} = a.a.\cos {60^\circ } = \frac{{{a^2}}}{2}\)

\( \Rightarrow - 3a{x^2} - {a^2} + \frac{{{a^2}(3 + x)}}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{5} \Rightarrow AN = \frac{2}{5}AD\)