Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, và vuông tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và AD.

a) ĐÚNG.Ta có \(O\) là trung điểm \(AC\), \(N\) là trung điểm \(AD \Rightarrow ON\) là đường trung bình của .

Vì \(ON{\rm{//}}AB\) và \(AB \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(ON{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).

b) ĐÚNG. Trong  có \(MN\) là đường trung bình \( \Rightarrow MN{\rm{//}}SD \subset \left( {SCD} \right)\).

Trong , \(ON{\rm{//}}CD \subset \left( {SCD} \right)\).

Do \(MN \cap ON = N\), nên \(\left( {OMN} \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).

c) SAI.Ta có \(M \in SA \subset \left( {SAB} \right)\) và \(M \in \left( {OMN} \right)\) nên \(M\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\).

Lại có mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\) lần lượt chứa hai đường thẳng \(ON\) và \(AB\) song song với nhau nên giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\) là đường thẳng qua \(M\) song song với \(ON\) và \(AB\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), từ \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(SB\) tại \(H\).

Khi đó \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\).

Vì \(M\) là trung điểm \(SA\) nên \(H\) là trung điểm \(SB \Rightarrow HS = HB\). Do đó mệnh đề \(HS = 2 \cdot HB\) là sai.

d) ĐÚNG.Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và song song với \(\left( {SBD} \right)\). Vì \(M\) là trung điểm \(SA\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt các mặt \(\left( {SAB} \right),\left( {SAD} \right),\left( {SAC} \right)\) theo các đường trung bình song song với \(SB,SD,SO\).

Thiết diện tạo bởi \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp là tam giác có các cạnh lần lượt bằng một nửa các cạnh của . Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AB = AD \Rightarrow SB = SD\) (vì \(SA \bot AB,SA \bot AD\)), suy ra cân tại \(S\). Do đó thiết diện thu được cũng là một tam giác cân.

Đáp án:

a) Đ - b) Đ - c) S - d) Đ