Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1 đơn vị,

17/22

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thoi cạnh bằng 1 đơn vị, \[\widehat {BAD} = 60^\circ \]. Tam giác \[SAB\] vuông cân tại \[S\] và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ \[AB\] đến \[SC\] bằng \[\frac{{\sqrt a }}{b}\;\left( {a,b \in N*} \right)\]; (\[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản). Tính tổng \[a + b\].

Giải thích

Đáp án: \[7\].

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1 đơn vị, (ảnh 1)

Gọi \[H\] là trung điểm \[AB\], suy ra \[SH \bot AB\] (do tam giác \[SAB\] vuông cân tại \[S\])

Mặt khác, \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\] mà \[\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\]nên \[SH \bot \left( {ABCD} \right)\].

Do \[\left( {SCD} \right)\] đi qua \[SC\] và song song với \[AB\] nên \[d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)\].

Dễ thấy, tam giác \[ABD\] đều và \[HD \bot AB\], mà \[CD//AB\] nên \[HD \bot CD\].

Có \[CD \bot HD\] và \[CD \bot SH\] nên \[CD \bot \left( {SHD} \right)\] hay \[\left( {SHD} \right) \bot \left( {SCD} \right)\].

Do đó, trong \[\left( {SHD} \right)\], từ \[H\]kẻ \[HK \bot SD\] thì \[HK \bot \left( {SCD} \right)\] và \[d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HK\].

Tam giác vuông \[SHD\] có \[HD = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]; \[HS = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\] và

\[\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{D^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}} = \frac{4}{3} + \frac{4}{1} = \frac{{16}}{3}\], suy ra \[HK = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].

Vậy \[d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\], do đó \[a = 3;b = 4;a + b = 3 + 4 = 7\].