Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Thể tích của khối chóp: \(V = \frac{1}{3}h.S\), trong đó \(h\) là chiều cao hình chóp, \(S\) là diện tích đáy của hình chóp.

Lời giải

Ta có \(CB = \sqrt {A{D^2} + {{(AB - CD)}^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} + {{(2a - a)}^2}} = a\sqrt 5 \).

Gọi \(H\) là hình chiếu của I trên BC. Khi đó \(BC \bot (SHI)\) nên góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là \(\widehat {SHI}\)

Theo đề ta có \(\widehat {SHI} = {60^\circ }\)

Diện tích hình thang vuông ABCD là

\({S_{ABCD}} = \frac{{(AB + DC).AD}}{2} = \frac{{(2a + a)2a}}{2} = 3{a^2}\)

Diện tích tam giác \(ABI\) vuông tại \(A\) là \({S_{ABI}} = \frac{1}{2}AB.AI = \frac{1}{2}2a.a = {a^2}\).

Diện tích tam giác \(DCI\) vuông tại \(D\) là \({S_{DCI}} = \frac{1}{2}DI.DC = \frac{1}{2}a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Diện tích tam giác \(BCI\) là

\({S_{BCI}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABI}} - {S_{DCI}} = 3{a^2} - {a^2} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{3}{2}{a^2}\)

Ta có \({S_{BCI}} = \frac{1}{2}IH.BC \Rightarrow IH = \frac{{2{S_{BCI}}}}{{BC}} = \frac{{2.\frac{3}{2}{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}\).

Do đó \(SI = IH.\tan \widehat {SHI} = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}.\tan {60^\circ } = \frac{{3a\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy thể tích S.ABCD là

\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SI.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{3a\sqrt {15} }}{5}.3{a^2} = \frac{{3{a^3}\sqrt {15} }}{5}\)