Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 3CD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Mặt phẳng alpha đi qua O

Vì \(AB//CD\) và \(AB = 3CD\), theo định lý Thales trong tam giác có đáy song song:

\(\frac{{OD}}{{OB}} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{OD}}{{BD}} = \frac{{OC}}{{AC}} = \frac{1}{4}\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( {SCD} \right)\) cắt các mặt của hình chóp tạo thành các đoạn thẳng song song ứng với các cạnh của tam giác \(SCD\):

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(MN{\rm{//}}CD\) (\(M \in AD,N \in BC\)) đi qua \(O\). Do đó \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{3}{4}\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), kẻ \(MQ{\rm{//}}SD\) (\(Q \in SA\)). Do đó \(\frac{{AQ}}{{AS}} = \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{MQ}}{{SD}} = \frac{3}{4}\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), kẻ \(NP{\rm{//}}SC\) (\(P \in SB\)). Do đó \(\frac{{BP}}{{BS}} = \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{{BO}}{{BD}} = \frac{3}{4}\).

Từ đó suy ra \(\frac{{BP}}{{BS}} = \frac{{AQ}}{{AS}}\). Do đó \(PQ{\rm{//}}AB\).

Vì \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) nên \(CD{\rm{//}}AB\). Do đó \(PQ{\rm{//}}MN\).

Lại có \(SCD\) là tam giác vuông tại \(D\) nên \(SD \bot DC\). Từ đó suy ra được \(MQ \bot MN\).

Như vậy, tứ giác \(MNQP\) là hình thang vuông tại \(M\) và \(Q\).

Ta có: \(\frac{{MQ}}{{SD}} = \frac{3}{4} \Rightarrow MQ = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6\);

\(AB = 3CD = 3 \cdot 4 = 12\) và \(QP{\rm{//}}AB \Rightarrow \frac{{QP}}{{AB}} = \frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow QP = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3\).

\(MN{\rm{//}}CD \Rightarrow \frac{{OM}}{{CD}} = \frac{{AO}}{{AC}} = \frac{3}{4} \Rightarrow OM = 3\) và \(\frac{{ON}}{{CD}} = \frac{{BO}}{{BD}} = \frac{3}{4} \Rightarrow ON = 3 \Rightarrow MN = OM + ON = 6\).

Diện tích hình thang vuông \(MNQP\): \({S_{MNQP}} = \frac{{\left( {QP + MN} \right) \cdot MQ}}{2} = \frac{{\left( {3 + 6} \right) \cdot 6}}{2} = 27\).

Đáp số: 27.