Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB // CD và AB = BC = DA = a, CD = 2a. Biết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD)

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) nên SO ^ (ABCD).

Khi đó d(S, (ABCD)) = SO.

Kẻ AH ^ DC tại H, BK ^ DC tại K.

Khi đó ABKH là hình chữ nhật nên AB = HK = a.

Xét DAHD và DBKC có: AD = BC = a,AHD^=BKC^=90° , ADH^=BCK^(do ABCD là hình thang cân).

Do đó DAHD = DBKC, suy ra DH = CK = DC−HK2=2a−a2=a2 ;

CH = HK + CK = a+a2=3a2 .

Xét tam giác AHD vuông tại H, có  AH=AD2−DH2=a2−a24=a32.

Xét tam giác AHC vuông tại H, có  AC=AH2+HC2=3a24+9a24=a3.

Vì AB // CD nên AOOC=ABCD⇒AOOC=a2a=12⇒AO=13AC=a33.

Xét tam giác SOA vuông tại O, có SO=SA2−AO2=2a2−a23=a153 .

Khi đó d(S, (ABCD)) =a153.

Ta có SABCD=12⋅AB+CD⋅AH=12⋅a+2a⋅a32=3a234.

Vậy VS.ABCD=13⋅SABCD⋅SO=13⋅3a234⋅a153=a34512=a354 .