Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, biết đáy lớn AD = 6, đáy nhỏ BC = 3. Gọi E, F lần lượt lấy trên SA và SD sao cho SE = y ⋅ SA, SF = y ⋅ SD. K là giao điểm của các đường thẳng A

18/21

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, biết đáy lớn $AD = 6$, đáy nhỏ $BC = 3$. Gọi $E,F$ lần lượt lấy trên $SA$ và $SD$ sao cho $SE = y \cdot SA$, $SF = y \cdot SD$. $K$ là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$. $M$ là giao điểm của đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {CDE} \right)$, đường thẳng $SC$ cắt mặt phẳng $\left( {EFM} \right)$ tại $N$. Tìm $y$ để tỉ số diện tích của hai tam giác $KMN$ và $KEF$ là $\frac{4}{9}$.

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, biết đáy lớn AD = 6, đáy nhỏ BC = 3. Gọi E, F lần lượt lấy trên SA và SD sao cho SE = y ⋅ SA, SF = y ⋅ SD. K là giao điểm của các đường thẳng A (ảnh 1)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{E \in SA \subset \left( {SAB} \right)}\\{E \in \left( {CDE} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow E \in \left( {CDE} \right) \cap \left( {SAB} \right)$.

$AB \cap CD = K \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in AB \subset \left( {SAB} \right)}\\{K \in CD \subset \left( {CDE} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow K \in \left( {CDE} \right) \cap \left( {SAB} \right)$.

Nên $KE = \left( {CDE} \right) \cap \left( {SAB} \right)$.

Lại có: $SB \subset \left( {SAB} \right),SB \cap \left( {CDE} \right) = M \Rightarrow M = SB \cap KE$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in EM \subset \left( {EFM} \right)}\\{K \in CD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow K \in \left( {EFM} \right) \cap \left( {SCD} \right)$ và $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{F \in \left( {EFM} \right)}\\{F \in SD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow F \in \left( {EFM} \right) \cap \left( {SCD} \right)$.

Nên $KF = \left( {EFM} \right) \cap \left( {SCD} \right)$.

Lại có: $SC \subset \left( {SCD} \right)$, $SC \cap \left( {EFM} \right) = N \Rightarrow N = SC \cap KF \Rightarrow \exists \left( {EFNM} \right)$.

Theo đề bài: $SE = y \cdot SA$, $SF = y \cdot SD$, suy ra \[\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{EF}}{{AD}} = \frac{y}{1} \Rightarrow EF{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC \Rightarrow \exists \left( {EFCB} \right)\].

Từ đó: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {EFCB} \right) \cap \left( {EFNM} \right) = EF\\\left( {EFNM} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MN\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {EFCB} \right) = BC\end{array} \right. \Rightarrow EF{\rm{//}}MN{\rm{//}}BC \Rightarrow \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{MN}}{{\frac{1}{2}AD}}\,\,\left( 1 \right)$.

$\{\begin{cases} B C // A D \\ B C = \frac{1}{2} A D \\ Δ K B C ∽ Δ K A D \end{cases} \Rightarrow \frac{K A}{K B} = 2$ .

Kẻ $BL{\rm{//}}AS$.

Nên $△ K B L ∽ △ K A E$ , $△ M B L ∽ △ M S E$ :

$\frac{{KA}}{{KB}} = \frac{{AE}}{{BL}},\quad \frac{{MB}}{{MS}} = \frac{{BL}}{{SE}} \Rightarrow \frac{{KA}}{{KB}} \cdot \frac{{MB}}{{MS}} = \frac{{AE}}{{SE}} \Rightarrow 2\frac{{MB}}{{MS}} = \frac{{AE}}{{SE}} = \frac{{SA - SE}}{{SE}} = \frac{{1 - y}}{y}$.

Nên $\frac{{MB}}{{MS}} = \frac{{1 - y}}{{2y}} \Rightarrow \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{2y}}{{1 + y}}\quad \left( 2 \right)$.

Kết hợp với $\left( 1 \right)$ ta có: $\frac{{MN}}{{\frac{1}{2}AD}} = \frac{{2y}}{{1 + y}} \Rightarrow \frac{{MN}}{{EF}} = \frac{1}{{1 + y}}$.

Mặt khác: $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{1}{2}}&{\left( {{\rm{th/m\~a n}}} \right)}\\{y = - \frac{5}{2}}&{\left( {{\rm{loai}}} \right)}\end{array}} \right.$.

Vậy $y = \frac{1}{2} = 0,5$.

Đáp án: $0,5$.