Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=a căn 3 .

73/100

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = a\sqrt 3 \). Hình chiếu vuông góc \(H\) của \(S\) trên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC và \(SH = \frac{a}{2}\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và SC. Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng MN với mặt đáy \((ABCD)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

\(\tan \alpha = \frac{4}{3}\).

\(\tan \alpha = \frac{3}{4}\).

\(\tan \alpha = \frac{2}{3}\).

\(\tan \alpha = 1\).

Giải thích

Phương pháp giải

Sử dụng các mối quan hệ hình học đã biết kết hợp với cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tìm góc giữa MN với mặt đáy (ABCD).

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Lời giải

Ta có . Do đó \(\widehat {MN,(ABCD)} = \widehat {SB,(ABCD)}\)

Do SH ⊥ (ABCD) nên \(\widehat {MN,(ABCD)} = \widehat {SB,(ABCD)} = \widehat {SB,HB} = \widehat {SBH}\).

Ta có \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = 2a;BH = \frac{{BD}}{3} = \frac{{2a}}{3}{\rm{. }}\)

Tam giác SHB, có \(\tan \widehat {SBH} = \frac{{SH}}{{BH}} = \frac{3}{4}\) .