Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD = a căn bậc hai của 2 . Cạnh bên SA vuông góc (ABCD) và SA = 3a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng

35/38

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = a\sqrt 2 .\) Cạnh bên \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = 3a.\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\) bằng

\(45^\circ .\)

\(90^\circ .\)

\(30^\circ .\)

\(60^\circ .\)

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD = a căn bậc hai của 2 . Cạnh bên SA vuông góc (ABCD) và SA = 3a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng (ảnh 1)

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \) hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC\).

Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SCA}\).

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 \).

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{a\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SCA} = 60^\circ .\)