Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 7, AD = 4. Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho SM = 2/3 SC. Mặt phẳng (P) chứa AM và song song với BD, cắt SD tại E và cắt SB tại F.

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O = AC \cap BD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(G = AM \cap SO\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(AM\) và song song với \(BD\), nên trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), qua \(G\) ta kẻ đường thẳng song song với \(BD\), đường thẳng này cắt \(SD\) tại \(E\) và cắt \(SB\) tại \(F\).

Ta có \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{7^2} + {4^2}} = \sqrt {65} \).

Kẻ \(MH{\rm{//}}SO\,\left( {H \in AC} \right)\). Ta có \(\frac{{CH}}{{CO}} = \frac{{MH}}{{SO}} = \frac{{CM}}{{CS}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{CH}}{{CA}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{{OG}}{{MH}} = \frac{{AO}}{{AH}} = \frac{3}{5}\).

Suy ra \(OG = \frac{3}{5}MH = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3}SO = \frac{1}{5}SO\). Suy ra \(\frac{{EF}}{{BD}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{{SO - OG}}{{SO}} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\).

Do đó, \[EF = \frac{4}{5}BD = \frac{{4\sqrt {65} }}{5}\].

Vậy độ dài đoạn thẳng \(EF\) bằng \(\frac{{4\sqrt {65} }}{5}\).