Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2, AD = 2 căn bậc hai của 3, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng 2 căn bậc ha

Đáp án: 8.

Kẻ \(AH \bot BD\). Có \(SA \bot BD \Rightarrow BD \bot \left( {SAH} \right)\).

Kẻ \(AI \bot SH \Rightarrow AI \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AI\)

Ta có \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt {15} }}{5} \Rightarrow AI = \frac{{2\sqrt {15} }}{5}\).

Xét tam gic SAH có \(\frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{{2\sqrt {15} }}{5}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow SA = 2\sqrt 3 \).

Có \({V_{SABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.2.2\sqrt 3 .2\sqrt 3  = 8\).