Đáp án: 9.

Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\), \(M\) là trung điểm của \(AC\).

Suy ra hình chiếu vuông góc của \(B'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(G\) hay \(B'G \bot \left( {ABC} \right)\).

Vì \(BG\) là hình chiếu vuông góc của \(B'G\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nên góc giữa \(BB'\) và mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng góc giữa \(BB'\) và \(BG\) và bằng \(\widehat {B'BG}\). Suy ra \(\widehat {B'BG} = 60^\circ \).

Vì \(A'B'\,{\rm{//}}\,\left( {ABC} \right)\) nên \(d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {B',\left( {ABC} \right)} \right) = B'G\).

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA' = 2 căn bậc hai của 26/3, tam giác ABC vuông tại C và góc BAC = 60 độ, góc giữa cạnh bên BB' và mặt đáy (ABC) bằng 60 độ. Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. (ảnh 1)

Xét \(\Delta BB'G\) vuông tại \(G\) có \[BB' = AA' = 2\sqrt[3]{{26}}\] và \(\widehat {B'BG} = 60^\circ \):

\(\sin \widehat {B'BG} = \frac{{B'G}}{{BB'}}\)\( \Rightarrow B'G = 2\sqrt[3]{{26}} \cdot \sin 60^\circ = \sqrt 3 \cdot \sqrt[3]{{26}}\). Suy ra \(d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = \sqrt 3 \cdot \sqrt[3]{{26}}\).

Ta có \(BG = \sqrt {B{{B'}^2} - B'{G^2}} = \sqrt[3]{{26}}\)\( \Rightarrow BM = \frac{3}{2}BG = \frac{3}{2} \cdot \sqrt[3]{{26}}\).

\(\Delta ACB\) vuông tại \(C\) có \(\tan \widehat {CAB} = \frac{{BC}}{{AC}}\)\[ \Rightarrow BC = AC \cdot \tan 60^\circ = \sqrt 3 AC\].

\(\Delta MCB\) vuông tại \(C\) có \(M{B^2} = B{C^2} + M{C^2}\)

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2} \cdot \sqrt[3]{{26}}} \right)^2} = 3A{C^2} + \frac{{A{C^2}}}{4} = \frac{{13}}{4}A{C^2}\]\( \Leftrightarrow AC = \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}} \cdot \sqrt[3]{{26}}\).

\[ \Rightarrow BC = \frac{{3\sqrt {39} }}{{13}} \cdot \sqrt[3]{{26}}\]. Suy ra \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{{9\sqrt 3 }}{{26}} \cdot \sqrt[3]{{{{26}^2}}}\).

Khi đó, \[{V_{A'ABC}} = \frac{1}{3} \cdot B'G \cdot {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}\sqrt 3 \cdot \sqrt[3]{{26}} \cdot \frac{{9\sqrt 3 }}{{26}} \cdot \sqrt[3]{{{{26}^2}}} = 9\].

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng (SAD)?