Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = a, AD = a căn bậc hai của 3. Biết rằng SA = a và nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc nhị diện [S, BD, C] có số đ

Đáp án: \(49\)

Góc nhị diện \([S,BD,C]\) chính là góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\).

Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng \(BD\).

Kẻ \(AH \bot BD\) tại \(H\).

Vì \(SA \bot (ABCD)\) nên\(SA \bot BD\).

Ta có: \(AH \bot BD\)và \(BD \bot SA \Rightarrow BD \bot (SAH)\).

Từ đó suy ra\(BD \bot SH\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và \((ABCD)\) là góc \(\widehat {SHA} = \alpha \).

Trong tam giác vuông \(ABD\) (vuông tại\(A\)): \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{(a\sqrt 3 )}^2}}  = 2a\).

Đường cao \(AH\) trong tam giác vuông\(ABD\):  \(AH = \frac{{AB \cdot AD}}{{BD}} = \frac{{a \cdot a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác \(SAH\) vuông tại \(A\) (do \(SA \bot (ABCD)\)  nên\(SA \bot AH\)):

\(\tan \alpha  = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Suy ra: \(\alpha  = \arctan \left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) \approx 49,1^\circ \).

Làm tròn đến hàng đơn vị, số đo góc nhị diện \([S,BD,C]\) là 49°.