Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 3, AD = 1. Biết SA = 2 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là điểm thuộc đoạn thẳng DC sao cho DC = 3DM. Tính khoảng cách giữa hai
Gọi \(N\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(BA = 3BN\)
Khi đó \(BN = DM\) và \(BN\,{\rm{//}}\,DM\) nên tứ giác \(BNDM\) là hình bình hành
Từ đó suy ra \(BM\,{\rm{//}}\,DN \Rightarrow BM\,{\rm{//}}\,\left( {SDN} \right)\).
Vậy \({\rm{d}}\left( {BM,SD} \right){\rm{ = d}}\left( {BM,\left( {SDN} \right)} \right) = {\rm{d}}\left( {B,\left( {SDN} \right)} \right)\).
Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(DN\) và \(SH\).
Ta có \(DN \bot AH\) và \(DN \bot SA\) nên \(DN \bot \left( {SAH} \right)\) từ đó suy ra \(DN \bot AK\).
Lại có \(AK \bot SH\) và \(AK \bot DN\) nên \(AK \bot \left( {SDN} \right)\) nên \[{\rm{d}}\left( {A,\left( {SDN} \right)} \right) = AK\].
Do \(AN = \frac{2}{3}AB = 2\) và tam giác \(ADN\) vuông tại \(A\) nên ta có:
\(AH = \frac{{AN.AD}}{{\sqrt {A{N^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2.1}}{{\sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Tam giác \(SAH\) vuông tại \(A\) nên \(AK = \frac{{AH.AS}}{{\sqrt {A{H^2} + A{S^2}} }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5} \cdot 2}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2} + {{\left( 2 \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{6}\).
Đường thẳng \(AB\) cắt mặt phẳng \(\left( {SDN} \right)\) tại \(N\) và \(\frac{{BN}}{{AN}} = \frac{1}{2}\) nên khi đó ta có:
\({\rm{d}}\left( {BM,SD} \right) = {\rm{d}}\left( {B,\left( {SDN} \right)} \right) = \frac{1}{2}{\rm{d}}\left( {A,\left( {SDN} \right)} \right) = \frac{1}{2}AK = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BM\) và \(SD\) bằng .