Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật.

19/234

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A,B\) và \(M\) là trung điểm của \(SC\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chia khối chóp đã cho thành hai phần lần lượt có thể tích là \({V_1},{V_2}\) trong đó \({V_1} < {V_2}\). Tính \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).

\(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{5}\).

\(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{8}\).

\(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{4}\).

\(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{4}\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tỷ lệ thể tích.

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. (ảnh 1)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \subset \left( \alpha \right)}\\{AB//CD}\end{array} \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN//AB//CD} \right.\).

Suy ra mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt hình chóp theo thiết diện hình thang \(ABMN\)

Khi đó \(\left( {ABMN} \right)\) chia hình chóp thành hai khối đa diện là \(S.ABMN\) và \(ABCDMN\) có thể tích lần lượt là \({V_1}\) và \({V_2}\).

Lại có \(\frac{{{V_{SABM}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{SABM}} = \frac{1}{2}{V_{SABC}} = \frac{1}{4}{V_{SABCD}}\) và\(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SACD}}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{SAMN}} = \frac{1}{4}{V_{SABC}} = \frac{1}{8}{V_{SABCD}}\).

Mà \({V_1} = {V_{SABM}} + {V_{SAMN}} = \frac{3}{8}{V_{SABCD}},{V_2} = {V_{SABCD}} - {V_{SABMN}} = \frac{5}{8}{V_{SABCD}}\).

Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{5}\).